Сборник задач по физике Электрический ток Цепь постоянного тока Правила Кирхгофа Электромагнетизм Электромагнитная индукция Цепь переменного тока Основы электродинамики Пример вычисления индуктивности


Электрический ток

 Сила тока

Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов (например, в канале молнии, в проводе, в электронно-лучевой трубке телевизора). Силой тока называется количество заряда, проходящего через всё сечение провода в единицу времени

 J(t) = dq/dt. (4.1.1)

Чтобы вычислить отсюда количество заряда, прошедшего за промежуток времени от момента времени t1 до момента t2, нужно вычислить интеграл

.  (4.1.2)

Если ток не зависит от времени (постоянный ток), то интеграл сводится к простому выражению q = J (t2 – t1), соответственно, простую формулу имеем и для силы тока J = q/(t2 – t1).

В Международной системе единиц СИ сила тока измеряется в амперах (А). Единица измерения тока 1 А устанавливается по магнитному взаимодействию двух параллельных проводников с током.

Задачи.

Через нить накаливания в лампочке карманного фонаря проходит ток 0.3 ампера. Какой заряд пройдет по нити за 1 минуту? [18 Кл]

При ударе молнии средней величины на землю за малый промежуток времени порядка 1 мс приходит заряд примерно 20 Кл. Оценить амплитуду электрического тока в импульсе. [Порядка 20 тысяч ампер]

Конденсатор емкостью C = 100 мкФ заряжается до напряжения U = 500 В за время t = 0.5 с. Каково среднее значение силы тока зарядки? [0.1 А]

Сила тока в лампочке карманного фонаря равна 0.32 А. Сколько электронов проходит через поперечное сечение нити накала за 1 с? [2´1018]

Ток в цепи за время t = 1 мс равномерно увеличивался от нулевого значения до значения Jm = 1 А. Какой заряд за это время протек по проводу? [0.5 мКл]

Ток в цепи за время t = 10 с равномерно уменьшался от значения Jm = 1 А до нуля. Какой заряд за это время протек по проводу? [5 Кл]

Определить ток, создаваемый электроном, движущимся в атоме водорода по круговой орбите радиусом r = 0.053 нм. Масса электрона m = 0.911´10-30 кг. [J » 1мА

Закон Ома и расчет простейших электрических цепей. Законы Кирхгофа

Для участка цепи, не содержащего ЭДС, закон Ома имеет вид

J = U/R = (j1 – j2)/R, (4.2.1)

где J – сила тока через резистор с сопротивлением R, U – напряжение на сопротивлении R, j1 – j2 – разность потенциалов между концами сопротивления; ток течет от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

Сопротивление проводника прямо пропорционально длине проводника l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

R = r l/S, (4.2.2)

где r – удельное сопротивление материала, из которого изготовлен проводник, зависящее не только от конкретного вещества, но от температуры.

Если электрическая цепь содержит батарейку с ЭДС равной E и резистор с сопротивлением R, то ток в цепи будет равен

J = E/(R+r), (4.2.3)

где r – внутреннее сопротивление батарейки. Разность потенциалов между концами сопротивления будет при этом равна j1 – j2 = U = J R = E R/(R+r). Последнюю формулу можно также записать в виде: j1 – j2 = E (R+r–r)/(R+r) = E – r E/(R+r), или

j1 – j2 = E – J r. (4.2.4)

При последовательном соединении между точками A и B электрической цепи n резисторов с сопротивлениями R1, R2, …, Rn по всем резисторам протекает один и тот же электрический ток

J1 = J2 = … = Jn º J;

напряжения на отдельных резисторах пропорциональны сопротивлениям Ui = JRi, а сопротивление участка цепи между точками A и B, содержащего все эти n сопротивлений, вычисляется по формуле

Ro = R1 + R2 +…+ Rn. (4.2.5)

При параллельном соединении между точками A и B электрической цепи n резисторов с сопротивлениями R1, R2, …, Rn к каждому из них приложено одно и то же напряжение

U1 = U2 = … = Un º U,

равное разности потенциалов между точками A и B (U = jA – jB); токи, текущие через отдельные резисторы обратно пропорциональны сопротивлениям Ji = U/Ri, а сопротивление участка цепи между точками A и B, содержащего все эти n сопротивлений, вычисляется по формуле

1/Ro = 1/R1 + 1/R2 +…+ 1/Rn. (4.2.6)

В СИ единицей электрического сопротивления проводников служит ом (Ом). Сопротивлением в 1 Ом обладает такой участок цепи, в котором при напряжении 1 В возникает ток силой 1 А.

Задачи.

Неизолированную проволоку сложили вдвое и скрутили. Во сколько раз сопротивление скрученной таким образом проволоки отличается от сопротивления исходной проволоки? [Уменьшилось в 4 раза]

Рассчитать сопротивление трамвайного медного провода диаметром 1 см длиной 5 км. Удельное сопротивление меди r = 1.7´10-8 Ом м. [»1 Ом]

Имеется катушка медного провода диаметром d = 1 мм. Масса всей проволоки m = 1 кг. Определить сопротивление проволоки. Удельное сопротивление меди r = 1.7´10-8 Ом м, плотность меди r’ = 8.96´103 кг/м3. [» 3 Ом]

Считается, что все электроприборы в квартире включены параллельно друг другу. Это обеспечивается малостью сопротивлений проводов, а потому малым падением напряжения на соединительных проводах. Пусть напряжение в розетке равно U = 220 В и пусть электрокамин с сопротивлением Rк = 48.4 Ом включен не прямо в розетку, а с помощью удлинителя длиной L = 5 м. В удлинителе используется медный провод диаметром d = 1 мм. Какое реально напряжение U’ приложено к электрокамину с учетом падения напряжения на проводе удлинителя? (Задача могла быть переформулирована и для удаленной розетки.) Удельное сопротивление меди r = 1.7´10-8 Ом м. [U’ = U » 219 В, т.е. весьма близко к 220 вольтам]

Все знают, как опасно для человека прикосновение к электрическим проводам, когда они под напряжением. Между тем, все мы неоднократно наблюдали, что птицы спокойно сидят на оголенных проводах с током без всякого для себя ущерба. Почему?

Человек замкнул на себе батарейку карманного фонаря, дающую напряжение 1.5 В. Какой ток пройдет по телу человека? [1.5 В/(1.5 104 Ом) = 0.1 мА]

Какой ток пройдет по телу человека, когда же он замкнет на себе розетку с напряжением 220 В? Оценку провести для а) сухой и б) влажной кожи рук. [а) 220/(1.5 104) А » 15 мА; б) для влажной кожи сила тока достигает очень большой величины 220 В/1000 Ом = 220 мА]

Проводник составлен из двух состыкованных друг с другом торцами цилиндров из разного материала. Длины цилиндров l1 и l2, площади их поперечных сечений S1 и S2, удельные сопротивления r1 и r2. Определить сопротивление такого проводника. [R = r1l1/S1+r2l2/S2]

Имеется проводник длиной L переменного сечения, радиус которого линейно уменьшается от значения R1 на одном конце до R2 на другом. Определить сопротивление провода. Удельное сопротивление проводника равно r. [, где S1 = p R12, S1 = p R12 – площади поперечного сечения провода на разных его концах]

Имеется проводник длины L переменного сечения, площадь поперечного сечения которого линейно уменьшается от значения S1 на одном конце до S2 на другом. Определить сопротивление провода. Удельное сопротивление проводника равно r. []

Почему коснуться оголенного провода с током одним пальцем менее опасно, чем взяться за него целой ладонью?

Во сколько раз сопротивление n одинаковых резисторов, соединенных последовательно, больше сопротивления тех же резисторов, соединенных параллельно? [n2]

Кусок проволоки сопротивлением 0.8 Ом разрезали на 4 равные части и полученные части соединили параллельно. Каково сопротивление соединенной таким образом проволоки? [0.05 Ом]

Докажите, что сопротивление двух резисторов, включенных последовательно, больше каждого из них, а сопротивление двух резисторов, включенных параллельно, меньше каждого из них.

В доме включено некоторое количество электроприборов. Общее их сопротивление = R. После этого включается еще один электроприбор с сопротивлением r. Как изменится при этом общее сопротивление квартиры? [Уменьшится]

Домашний пробочный предохранитель рассчитан на максимальный ток Jmax = 10 ампер. Каким может быть минимальное сопротивление всех одновременно включенных приборов в квартире, чтобы еще не выбивало пробку? Напряжение в сети равно U = 220 вольт. [22 Ом]

Сколько лапочек с одинаковым сопротивлением нужно соединить последовательно для изготовления елочной гирлянды, если каждая лампочка рассчитана на напряжение 6 В, а гирлянда будет включена в сеть с напряжением 220 В? [37]

При питании лампочки от элемента с ЭДС E = 1.5 В с внутренним сопротивлением r = 0.5 Ом, сила тока в цепи J = 0.2 А. Чему равно сопротивление лампочки? [7 Ом]

При питании лампочки от элемента с ЭДС E = 1.5 В с внутренним сопротивлением r = 0.5 Ом, сила тока в цепи J = 0.2 А. Найти напряжение на лампочке. [1.4 В]

Гальванический элемент с ЭДС E = 1.5 В и внутренним сопротивлением r = 0.5 Ом замкнут накоротко. Определить силу тока короткого замыкания? [3 А]

При подключении лампочки к источнику с E = 4.5 В напряжение на лампочке U = 4 В, а ток в ней J = 0.25 А. Каково внутреннее сопротивление источника? [2 Ом]

Сколькими батарейками с ЭДС E = 1.5 В и внутренним сопротивлением r = 0.5 Ом, включенными последовательно, нужно питать лампу мощностью P = 100 Вт, рассчитанную на напряжение в сети U = 220 В, чтобы лампа работала в нормальном режиме? [173]

В цепи, содержащей батарейку ЭДС с некоторым внутренним сопротивлением и резистор, при уменьшении сопротивления резистора на 20% ток увеличился на 20%. На сколько процентов увеличился бы ток, если бы сопротивление резистора уменьшилось на 40%? [На 50%]

(*) Мостовой схемой называют следующее соединение резисторов. Пусть между точками 1 и 4 включены последовательно два резистора R1 и R3 (назовем их «верхним берегом»), а параллельно им между этими же точками 1 и 4 включены два последовательно соединенных резистора R2 и R4 (назовем их «нижним берегом»). Пусть точка 2 – какая-то точка провода, соединяющего резисторы R1 и R3, а точка 3 – какая-то точка провода, соединяющего резисторы R2 и R4. Между точками 2 и 3 делают перемычку – включают резистор сопротивлением R5 («мост»), после чего схема соединения резисторов перестает быть простой комбинацией последовательных и параллельных соединений, которая и называется мостовой схемой.

В симметричной мостовой схеме все 5 сопротивлений равны друг другу и равны R. Определить сопротивление между точками 1 и 4. [R]

 

В несимметричной мостовой схеме два сопротивления R1 = R4 = 0, а остальные равны друг другу и равны R. Определить сопротивление между точками 1 и 4. [R/3]

В несимметричной мостовой схеме точки 2 и 3 закорочены (сопротивление «моста» R5 = 0). Остальные сопротивления таковы: R1 = R2 = R3 = 1 Ом, R4 = 2 Ом. К схеме подведен ток J = 1 А. Найти ток через «мост» между точками 2 и 3. [J/6]

Какому условию должны удовлетворять сопротивления «берегов» несимметричной мостовой схемы, чтобы ток через «мост» равнялся нулю? [R1/R3 = R2/R4]

(*) В несимметричной мостовой схеме сопротивления таковы: R1 = R2 = R4 = R5 = R, а R3 = 2R. К схеме подведен ток J. Найти ток J5 через перемычку между точками 2 и 3, а также полное сопротивление мостовой схемы между точками 1 и 4. [J5 = (1/11)J, Rобщ = (13/11)R. ] 

В несимметричной мостовой схеме сопротивления таковы R1 = R2 = R4 = R5 = R, а R3 = 2R. Сопротивление R1 заменили конденсатором емкостью C. К схеме подведено напряжение U. Определить заряд на конденсаторе. [Q = (5/7)CU]

Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью C, резистора с сопротивлением R и батареи с ЭДС E, внутренним сопротивлением которой можно пренебречь. До момента t = 0 цепь разомкнута, а конденсатор не заряжен q(t = 0) = 0. В момент времени t = 0 цепь замыкают. Определить зависимость от времени: а) заряда, накопившегося на конденсаторе; б) электрического тока в цепи; в) напряжения на конденсаторе; г) напряжения на резисторе; г) энергии в конденсаторе.

[q(t) = C E [1 – exp(– t/t)] (а), |J(t)| = |dq/dt| = (C E/t) exp(– t/t) = (E/R) exp(– t/t) (б), UC(t) = q(t)/C = E[1 – exp(– t/t)] (в), UR(t) = E – UC(t) = E exp(– t/t) (г), WC(t) = q2(t)/2C = (1/2) C E2 [1 – exp(– t/t)]2 (д), где t = RC]

Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью C и резистора с сопротивлением R. До момента t = 0 цепь разомкнута, а конденсатор имел заряд q(t = 0) = q0. В момент времени t = 0 цепь замыкают. Определить зависимость от времени: а) заряда на конденсаторе; б) электрического тока в цепи; в) напряжения на конденсаторе; г) напряжения на резисторе; д) энергии конденсатора.

[а) q(t) = q0 exp(– t/t), б) |J(t)| = |dq/dt| = (q0/t) exp(– t/t), в) UC(t) = q0/C exp(– t/t), г) UR(t) = – UC(t), д) WC(t) = (q02/2C) exp(– 2t/t)]

Закон Джоуля – Ленца В проводнике с конечным (не равным нулю) сопротивлением при протекании по нему электрического тока непрерывно выделяется тепло (проводник нагревается). Количество тепла, выделяющееся в единицу времени называют тепловой мощностью (или мощностью тока)

Зависимость сопротивления от температуры Зависимость сопротивления металлов (но не полупроводников!) от температуры в широком диапазоне температур хорошо описывается линейной функцией R(t) = R0 (1 + a t)

Плотность тока и закон Ома в локальной (дифференциальной) форме Рассмотрим провод длиной l и поперечного сечения S. Сопротивление провода R = r l/S, где r – удельное сопротивление провода. Пусть по проводу течет ток J, тогда по закону Ома к концам провода приложено напряжение U = J R = J r l/S. Запишем это иначе U/l = r J/S и учтем, что величина U/l = E есть напряженность электрического поля в проводе.


Задачи для самостоятельного решения по физике