Задачи
Электротехника
Реактор
Лекции
ПК
Электроника
ВВЭР-1200
Геометрия
Физика
Информатика
АЭС
Задачи
Строймех
Контрольная
Энергетика
Решения

Решение задач по физике

Элементы статистической физики

Основные формулы

 Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n=n0e-U/(kT),

где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; n0 — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоянная Больцмана; T — термодинамическая температура; е — основание натуральных логарифмов.

 Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

р=p0e-mgz/(kT), или p=p0e-Mgz/(RT),

где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 — давление на этом уровне; g — ускорение свободного падения; R — молярная газовая постоянная. Эффект Комптона и его элементарная теория Наиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона. Американский физик А. Комптон (1892—1962), исследуя в 1923 г. рассеяние монохроматического рентгеновского излучения веществами с легкими атомами (парафин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также более длинноволновое излучение. [an error occurred while processing this directive]

 Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется по формуле

dW(x)=f(x)dx*

где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

* Приведенная формула выражает также долю молекул, для которых физическая величина х заключена в интервале от х до х+dх.

 Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx,

dN=NdW(x)=Nf(x)dx.

 Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,

,

где f(J) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от J до J+dJ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где u=J/Jв — относительная скорость, равная отношению скорости J к наивероятнейшей скорости Jв (о скоростях молекулы см. §9); f(u) — функция распределения по относительным скоростям.

Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) — функция распределения по импульсам.

 Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от e до e+de,

,

где f(e)—функция распределения по энергиям.

 Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа

l=cvr<J><l> или l=<J><l>,

где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; r — плотность газа; <J> — средняя арифметическая скорость его молекулы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.

Закон Фика

Dm= -Dm1SDt,

Пример 2. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число DN молекул, скорости J которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости Jв.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям u (u=J/Jв). Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до du, определяется формулой

,  (1)

где N — полное число молекул.

Пример 4. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

,

  где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

<J>=362 м/с.

Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5°С до t=1°C. Какую ошибку Dh в определении высоты допустил летчик? Давление р0 у поверхности Земли считать нормальным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

p=p0e-Mgh/(RT).

Барометр может показывать неизменное давление р при различных температурах T1 и T2 за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h2.

Задачи

Распределение Больцмана

10.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m=10-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении высоты на Dh =10 м? Температура воздуха Т=300 К.

10.2. Одинаковые частицы массой m=10-12 г каждая распределены в однородном гравитационном поле напряженностью G=0,2 мкН/кг. Определить отношение п1/п2 концентраций частиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на Dz= 10 м. Температура Т во всех слоях считается одинаковой и равной 290 К.

Распределение молекул по скоростям и импульсам

10.15. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести формулу наиболее вероятной скорости Jв.

10.16. Используя функцию распределения молекул по скоростям, получить функцию, выражающую распределение молекул по относительным скоростям и (u=J/Jв).

10.17. Какова вероятность W того, что данная молекула идеального газа имеет скорость, отличную от ½Jв не более чем на 1 %?

10.18. Найти вероятность W того, что данная молекула идеального газа имеет скорость, отличную от 2Jв не более чем на 1 %.

Распределение молекул по кинетическим энергиям

10.32. Найти выражение средней кинетической энергии <eв> поступательного движения молекул. Функцию распределения молекул по энергиям считать известной.

10.33. Преобразовать формулу распределения молекул по энергиям в формулу, выражающую распределение молекул по относительным энергиям w(w=eп/<eп>), где eп —кинетическая энергия; <eп> — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

10.34. Определить долю w молекул идеального газа, энергии которых отличаются от средней энергии <eп> поступательного движения молекул при той же температуре не более чем на 1 %.

Длина свободного пробега и число столкновений молекул

10.47. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул водорода при давлении p=0,1 Па и температуре Т=100 К.

10.48. При каком давлении р средняя длина свободного пробега <l> молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?

10.49. Баллон вместимостью V=10 л содержит водород массой m=1 г. Определить среднюю длину свободного пробега <l> молекул.

10.64. Определить зависимость диффузии D от температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изохорном.

10.65. Определить зависимость диффузии D от давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорном.

10.66. Вычислить динамическую вязкость h кислорода при нормальных условиях.

10.67. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул, азота при условии, что его динамическая вязкость h=17 мкПа×с.

10.68. Найти динамическую вязкость h гелия при нормальных условиях, если диффузия D при тех же условиях равна 1,06×10-4 м2/с.


Математика