Задачи
Электротехника
Реактор
Лекции
ПК
Электроника
ВВЭР-1200
Геометрия
Физика
Информатика
АЭС
Задачи
Строймех
Контрольная
Энергетика
Решения

Решение задач по физике Кинематика гармонических колебаний

Волны в упругой среде. Акустика.

Основные формулы

Уравнение плоской волны

 , или   , где  — смещение точек среды с координатой х в момент времени t; ω — угловая частота; υ — скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость); k — волновое число; ; λ — длина волны.

 • Длина волны связана с периодом Т колебаний и частотой ν соотношениями   и

 •Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно Δx,

где λ — длина волны. Среднее число столкновений и средняя длина свободного движения молекул. Молекулы газа, находясь в состоянии хао тического движения, непрерывно сталки ваются друг с другом. Между двумя по следовательными столкновениями молеку лы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между по следовательными столкновениями различ на, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в бес порядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул [an error occurred while processing this directive]

• Уравнение стоячей волны

  , или

• Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:

в твердых телах  , где Е — модуль Юнга; р — плотность вещества;

в газах  ,или , где γ — показатель адиабаты (γ =cp/cv — отношение удельных теп- лоемкостей газа при постоянных давлении и объеме); R — моляр- ная газовая постоянная; Т—термодинамическая температура; М— молярная масса; р — давление газа.

• Акустический эффект Доплера

 

где ν — частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом); υ — скорость звука в среде; uпр — скорость прибора относительно среды; uист — скорость источника звука относительно среды; ν 0 — частота звука, испускаемого источником. [an error occurred while processing this directive]

• Амплитуда звукового давления

p0=2πνρυA,

где ν — частота звука; А — амплитуда колебаний частиц среды; υ — скорость звука в среде; ρ — ее плотность.

Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме V,

• Поток звуковой энергии

  ,

где W — энергия, переносимая через данную поверхность за время t.

•  Интенсивность звука (плотность потока звуковой энергии)

Примеры решения задач

Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью =15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда A=2 см. Определить: 1) длину волны ; 2) фазу  колебаний, смещение , скорость , и ускорение , точки, отстоящей на расстоянии х=45 м от источника волн в момент t=4 с; 3) разность фаз  колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x1=20 м и x2=30 м.

Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из соотношения

T.

Подставив значения величин  и T, получим

=18 м.

2. Запишем уравнение волны:

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

=Acos(t—kx). (1)

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l-х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на , то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

=Acos{t—k[x+2(l—x)]+ }

После очевидных упрощений получим

=Acоs[t—k (2l—х)].  2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:

=+=Acos(t—kx)— Acos[t—k(2l—x)].

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

Пример 3. Источник звука частотой v=18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной = 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура T воздуха равна 290 К.

 Решение. Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости иист источника звука и скорости ипр прибора. Эта зависимость выражается формулой

где  — скорость звука в данной среде; v0 — частота звуковых волн, излучаемых источником.

Учитывая, что резонатор остается неподвижным (uпр=0), из формулы (1) получим , откуда

Задачи

Уравнение плоской волны

7.1. Задано уравнение плоской волны х,t)=Acos(t—kx), где A=0,5 см, (=628c-1,k=2 м-1. Определить: 1) частоту колебаний v и длину волны  2) фазовую скорость ; 3) максимальные значения скорости max и ускорения max колебаний частиц среды.

7.2. Показать, что выражение х,t)=Acos(t—kx) удовлетворяет волновому уравнению при условии, что k.

Суперпозиция волн

7.20. Имеются два источника, совершающие колебания в одинаковой фазе и возбуждающие в окружающей среде плоские волны одинаковой частоты и амплитуды (A1=A2=1 мм). Найти амплитуду А колебаний точки среды, отстоящей от одного источника колебаний на расстоянии x1=3,5 м и от другого — на x2=5,4 м. Направления колебаний в рассматриваемой точке совпадают. Длина волны =0,6 м.

* В задачах, где в условии не указана скорость звука и не заданы величины, по которым ее можно вычислить, значение скорости следует брать из табл. 16.

7.21. Стоячая волна образуется при наложении бегущей волны и волны, отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной направлению распространения волны. Найти положения (расстояния от границы раздела сред) узлов и пучностей стоячей волны, если отра

Эффект Доплера *

7.28. Поезд проходит мимо станции со скоростью u=40 м/с. Частота v0 тона гудка электровоза равна 300 Гц. Определить кажущуюся частоту v тона для человека, стоящего на платформе, в двух случаях: 1) поезд приближается; 2) поезд удаляется.

7.29. Мимо неподвижного электровоза, гудок которого дает сигнал частотой v0=300 Гц, проезжает поезд со скоростью и=40 м/с. Какова кажущаяся частота v тона для пассажира, когда поезд приближается к электровозу? когда удаляется от него?

Звуковое давление. Акустическое сопротивление *

 7.41. Определить удельное акустическое сопротивление Zs воздуха при нормальных условиях.

  7.42. Определить удельное акустическое сопротивление Zs воды при температуре t=15°C.

7.43. Какова максимальная скорость  колебательного движения частиц кислорода, через который проходят звуковые волны, если амплитуда звукового давления p0=0,2 Па, температура Т кислорода равна 300 К и давление p=100 кПа?


Математика