Задачи
Электротехника
Реактор
Лекции
ПК
Электроника
ВВЭР-1200
Геометрия
Физика
Информатика
АЭС
Задачи
Строймех
Контрольная
Энергетика
Решения

Решение задач по физике Механические колебания

Механические колебания

 Основные формулы

• Уравнение гармонических колебаний

 

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t — время; А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний;  — фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота колебаний

 , или   ,

где ν и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

• Ускорение при гармоническом колебании

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

 

где a1 и А2— амплитуды составляющих колебаний; φ1 и φ2— их начальные фазы.

• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν1 и ν2,

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и A2 и начальными фазами φ1 и φ2,

Если начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

 

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение принимает вид

 

т. е. точка движется по эллипсу.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

• Логарифмический декремент колебаний

 

где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А2, второе на A2 ω 2 и сложим:

 , или  

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

  см/с.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m3=400 г укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

  Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

  (1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; т — его масса; lС — расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J1 и J2 и стержня J3:

 (2)

Принимая  шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J3= = . Подставив полученные выражения J1 , J2 и J3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи- зического маятника:

 

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l= 1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром  и массой т1. Горизонтальная ось Oz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

  (1)

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями ; х2= =, где А1=1 см, A2=2 см,  с,  с, ω = =. 1. Определить начальные фазы φ1 и φ 2 составляющих колебаний.

2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

  (1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

  (2)

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

  (1).

 (2)

где a1=1 см, A2=2 см, . Найти уравнение траектории точ- ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь>зуемся формулой  .


Математика