Курс лекций и задач по физике

Физическая природа проводимости

Зонная теория и опытные данные показывают, что у всех металлов валентная зона заполнена лишь частично и либо соприкасается с зоной проводимости, либо зоны перекрываются.

Поэтому, как отмечалось ранее, все металлы и сплавы хорошо проводят электрический ток. Отметим, что электроны, которые могут принимать участие в электрическом токе, называются свободными. Т.к. в металлах валентная зона перекрывается с зоной проводимости, то, следовательно, все валентные электроны могут принимать участие в электрическом токе.

Число валентных электронов не зависит от температуры и у всех металлов одного порядка - 10 22 /см 3, а электропроводность отличается иногда в десятки раз, уменьшается с ростом температуры и зависит от содержания даже металлических примесей. Почему?

Можно предположить, что у разных металлов различна скорость движения электронов в отсутствии внешнего электрического поля и тогда, упорядочив их движение наложением внешнего поля, естественно, получим разные проводимости.

Оценим этот вариант объяснения на примере меди и серебра. В отсутствии поля в металлах, как уже отмечалось, свободные электроны могут занимать ряд дискретных энергетических уровней. При абсолютном нуле температуры все энергетические уровни, ниже некоторого уровня EF , заняты, а все уровни выше EF - свободны.

Уровень с энергией EF называется уровнем Ферми. При произвольной температуре вероятность того, что уровень с энергией E будет занят, определяется соотношением:

f(E) = 1 / [exp(E-EF )/ kT]+1

(2.1)

По порядку величины для разных металлов EF = 2-7 эВ и определяется только числом электронов в единице объема.

При комнатной температуре kТ = 0,025 эВ, при этом, если E = EF, то f(E) = 0,5, а если E - EF = 0,1 эВ, то f(E)= 0,018, т.е. при комнатной температуре вероятность заселения уровня с энергией больше энергии EF очень мала, и энергия электронов не превышает энергию Ферми. Этой энергии соответствует скорость электронов, определяемая из соотношения:

EF = (m . VF 2 ) / 2

(2.2)

VF = (2 . EF / m)0,5,

(2.3)

где EF Ag = 5 эВ и, тогда скорость VF = 4 .10 6 м/с,

EF Cu = 7 эВ и, значит, VF Cu > VF Ag, но, как известно, электропроводность серебра выше, чем у меди, и, следовательно, первоначальное предположение неверно.

В отсутствие внешнего поля свободные электроны движутся хаотически, траектории их движения определяются взаимодействием с "препятствиями".

Движение электрона от одного столкновения с "препятствием" до другого называется длиной свободного пробега.

 = VF . c,,

(2.4)

где c - время свободного пробега или время между двумя столкновениями.

Очевидно, что при большой концентрации препятствий длина свободного пробега будет меньше.

Так как в отсутствие поля векторы скорости N - свободных электронов имеют самые разнообразные направления, то групповая средняя скорость электрона VD , она называется еще дрейфовой скоростью, определяется следующим соотношением:

(2.5)

и будет равна нулю, т.к. при равновесии для электрона, движущегося в данном направлении со скоростью Vi, всегда найдется электрон, движущийся в противоположном направлении с такой же скоростью.

Следовательно, в отсутствие внешнего поля никакого переноса зарядов нет, а ток равен нулю.

Под действием электрического поля напряженностью Е, электрон приобретает ускорение a

(2.6)

и начинает двигаться ускоренно в направлении, противоположном полю.

Здесь, e - заряд электрона; E - напряженность внешнего поля.

Естественно, что и при направленном движении против поля, электроны будут испытывать соударения с "препятствиями" и рассеиваться на них, т.е. ускоренно электрон движется только на расстоянии длины свободного пробега. После соударений он потеряет направленную скорость и через некоторое время , он придет в исходное состояние, и весь процесс начнется снова.

Время , в течение которого электрон, путем соударений, приходит в исходное состояние, называется временем релаксации.

Таким образом, при наличии внешнего электрического поля, вклад в изменение скорости электрона дают два процесса:

взаимодействие с электрическим полем;

взаимодействие с кристаллической решеткой.

Тогда, в соответствии со вторым законом Ньютона, можно записать уравнение движения электрона:

,

(2.7)

где e . E - сила, действующая на электрон со стороны внешнего поля.

В отсутствие внешнего поля, когда E = 0, а масса электрона отлична от нуля, уравнение движения принимает вид:

.

(2.8)

Общий вид решения дифференциального уравнения первого порядка:

VD = A . e pt,

(2.9)

где p - корень характеристического уравнения, A - постоянная интегрирования.

Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

,

(2.10)

и корень характеристического уравнения будет равен:

.

(2.11)

В таком случае скорость дрейфа будет равна:

VD = A . e-t/ .

(2.12)

В момент времени t = 0, т.е. в момент соударения

  A = VD (0),,

и тогда в любой момент времени

VD (t) = VD (0) . e-t/ .

(2.13)

Итак, если электрон был выведен из равновесного состояния, и начальная скорость дрейфа, соответствующая этому неравновесному состоянию, равна VD (0), то равновесие восстанавливается по экспоненциальному закону с характеристическим временем , которое называется временем релаксации.

Рассмотрим теперь, как связано время релаксации со временем свободного пробега.

Рис.2. Схема изменения скорости

 электрона при столкновении с "препятствием".

Предположим, что электрон перемещается со скоростью VD по некоторому направлению х, и сталкиваясь с "препятствиями", сохраняет первоначальную скорость. При этом составляющая скорости электрона в направлении х будет VD сos q, и, следовательно, изменение скорости электрона VD в направлении х будет:

VD = VD - VD cos q = VD (1 - cos q).

(2.14)

Так как число столкновений в одну секунду равно 1/c, то изменение скорости электрона в направлении х будет равно:

.

(2.15)

С другой стороны, вклад в общее изменение скорости в результате столкновения с "препятствиями":

,

(2.16)

тогда

 и .

(2.17)

Если при групповом движении рассеяние электронов происходит во все стороны равномерно, т.е. кристалл изотропный, то среднее значение косинуса угла рассеяния - cos q= 0 и тогда

 = c

(2.18)

т.е. в изотропном кристалле время релаксации равно времени свободного пробега.

Если рассеяние происходит преимущественно в направлении движения, то cosq > 0 и время релаксации будет больше времени свободного пробега. Наоборот, если рассеяние происходит преимущественно против направления движения, то cos q < 0 и время релаксации будет меньше времени свободного пробега

 < с .

Решим теперь уравнение движения (2.7):

Так как в момент включения поля электроны двигались без ускорения, то при t = 0, dVD /dt = 0, и тогда

.

(2.19)

Установившаяся во внешнем поле средняя, не зависящая от времени, скорость электронов называется скоростью дрейфа в поле.

Она пропорциональна напряженности поля, а коэффициент пропорциональности

(2.20)

называется подвижностью электронов.

В изотропном кристалле  = c, тогда

 и .

(2.21)

Т.к. длина свободного пробега пропорциональна концентрации "препятствий", то подвижность электрона будет зависеть от степени совершенства кристаллической решетки.

Подвижность электрона можно определить как среднюю скорость дрейфа в поле, равном единице.

Плотность тока j - это количество электричества , протекающего через единичную площадку в единицу времени.

Очевидно, что общее число электронов Ns, протекающее через единичную площадку в единицу времени будет равно:

Ns = N . VD

где N - число электронов в единичном объеме, тогда плотность тока

j = N . VD . e

(2.22)

Подставляя значение скорости дрейфа в поле, будем иметь:

(2.23)

Для данного материала, величина

(2.24)

постоянная, она называется удельной проводимостью.

Учитывая, что

,

будем иметь

= N .  e . e,

(2.25)

а так как 

получим

.

(2.26)

Подставляя значение (2.24) в (2.23) получаем

j =  . E

(2.27)

Выражение (2.27) представляет собой закон Ома, известный из теории цепей. Величина, обратная удельной проводимости, называется удельным сопротивлением

 или 

(2.28)

Из последнего выражения видно, что величина удельного сопротивления определяется в основном средней длиной свободного пробега электрона, поскольку в различных металлах число свободных электронов - величины одного порядка, а скорости Ферми также отличаются не очень сильно. Длина свободного пробега зависит от степени совершенства кристалла, которая определяется методом и технологией получения материала, и, следовательно, удельное сопротивление также будет зависеть от технологии получения материала.

Проиллюстрируем это положение следующим примером. В микроэлектронике медные проводники формируют на диэлектрических подложках гальваническим наращиванием. Эксперименты, проведенные нами показали, что в идентичных условиях из одного и того же электролита при катодной плотности тока 0,5 А/дм 2 осадки меди имели удельное сопротивление 2,25 .10 -6 Ом . см, а при плотности тока 2,0 А/дм 2 - удельное сопротивление было 2,5 .10 -6 Ом . см. Причина увеличения удельного сопротивления только одна - увеличение плотности тока при электролизе, которое всегда ведет к получению более мелкокристаллических осадков.


На главную